Веер Кнастера — Куратовского

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским[1].

ПостроениеПравить

Рассмотрим прямоугольник

 

Построим на его нижнем ребре канторово множество   и обозначим через   множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через   все остальные точки из  . Пусть   это отрезок прямой, соединяющий точку   с точкой  

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество  , где

 
 

ОбоснованиеПравить

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества   и   такие, что   и при этом  . Для определённости будем считать, что  . Обозначим за   точку из  , ордината которой есть точная верхняя грань ординат всех точек, входящих в  . Если же   пусто, будем считать, что  . Очевидно, что   не может принадлежать  , так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для   так и для  , что противоречит предположению несвязности. То есть,   или  .

Пусть   — все рациональные числа отрезка  , обозначим:

 

Тогда  , то есть  . Заметим, что   нигде не плотны в  , иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с   лежало бы в  , но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из   в то время как  .

Множество   является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество   также второй категории. Но   первой категории (  счётно, а   является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве   обязаны лежать точки из  , т. е.   плотно в  .

Теперь допустим, что  . В силу плотности   в  , любое открытое множество, содержащее  , содержит также и некоторый сегмент отрезка   для какого-то  . По определению множества   имеем  , это значит, что  . Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества   ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки   делает   вполне несвязным. Предположим, что   связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента   (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество   вполне несвязно, значит, и   вполне несвязно.

ЛитератураПравить

  1. Knaster B., Kuratowski C.. Sur les ensembles connexes, Fund. Math., 2 (1921) pp. 206—255.
  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
  • Steen, Seebach. Counterexamples in Topology