Конечное топологическое пространство

Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.

Несмотря на то, что топология в основном рассматривает бесконечные пространства, конечные топологические пространства часто используются, как примеры и контрпримеры. Уильям Терстон назвал конечные топологические пространства «чудаковатой темой, ведущей к пониманию многих вопросов».[1]

Способы задания топологииПравить

Топологию на конечном множестве можно определить с помощью частичного порядка

 

where   обозначает замыкание множества  .

Обратно, по любому частичному порядку на конечном множестве можно построить единственную топологию, определяемую этим свойством.

Для определения частичного порядка удобно использовать ориентированный граф, где вершины - это точки пространства, а существование восходящего пути из   в   соответствует отношению  .

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • Особенным свойством топологических пространств является то, что замкнутые множества также определяют топологию. Эту новую топологию можно получить обращением частичного порядка, или, что то же самое обращением ориентации всех рёбер соответствующего графа.
  • Каждое конечное топологическое пространство является компактным.
  • Конечное Т1-пространство Т1 дискретно
    • В частности, любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.
  • Для любого конечного абстрактного симплициального комплекса существует ему слабо гомотопически эквивалентное конечное топологическое пространство.[2]
    • Обратное также верно: для любого конечного топологического пространства существует ему слабо гомотопически эквивалентный конечный симплициальный комплекс.
  • В таблице ниже перечислены число различных топологиj на множестве С из n элементов. Она также отображает количество неэквивалентных (то есть негомеоморфных) топологий. Не существует простой формулы для вычисления этих чисел; в энциклопедии целочисленных последовательностей в настоящее время списки доходят до  .
Количество топологий на множестве из n точек
Н Различных
топологий
Различных
Т0 топологий
Неэквивалентным
топологий
Неэквивалентных
Т0 топологий
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 4 3 3 2
3 29 19 9 5
4 355 219 33 16
5 6942 4231 139 63
6 209527 130023 718 318
7 9535241 6129859 4535 2045
8 642779354 431723379 35979 16999
9 63260289423 44511042511 363083 183231
10 8977053873043 6611065248783 4717687 2567284
ОЭИС A000798 A001035 A001930 A000112
  • Число   всех Т0-топологий на множестве из n точек, и число   всех топологий связанy формулой
     
где   обозначает число Стирлинга второго рода.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Thurston, William P. (англ.). On Proof and Progress in Mathematics (неопр.). — 1994. — Т. 30. — С. 161—177. — doi:10.1090/S0273-0979-1994-00502-6.
  2. P. Alexandroff. „Diskrete Räume.“ Матем. сб. 2 (1937), S. 501–519.