Псевдоокружность

Псевдоокружность — конечное топологическое пространство, неотличимое от окружности с точки зрения алгебраической топологии.

Построение

Псевдоокружность состоит из четырёх точек $\{a,b,c,d\}$ и наделена топологией со следующими открытыми множествами:

$\left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \right\}$.

Замечания

• Эту топологию можно определить через частичный порядок $a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d$, где открыть наборы замкнутых множеств

Свойства

• С точки зрения общей топологии, псевдоокружность — патологическое пространство, так как оно не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости, кроме Т₀.
• Непрерывное отображение $f$ из окружности $\mathbb {S} ^{1}=\{\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}$ в псевдоокружность, определяемое как

  $f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}$,

есть слабая гомотопическая эквивалентность. В частности, $f$ индуцирует изоморфизмы всех гомотопических групп, а также изоморфизм на сингулярные гомологиях и когомологиях и вообще изоморфизм для всех теорий гомологий и когомологий.

Вариации и обобщения

• Павел Сергеевич Александров показал, что для любого конечного симплициального комплекса К существует конечное топологическое пространство Х_К, которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация |К|.