Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологиитеория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

ПостроениеПравить

Пусть   — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности   — это пара   где   — это стандартный симплекс  , а   — его непрерывное отображение в  ;  .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

  с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами  .

При этом для линейного отображения  , определяемого перестановкой   точек  , полагают  .

Граничный оператор   определяется на сингулярном симплексе   так:

 ,

где   стандартный  -мерный симплекс, а  , где   — это его отображение на  -ю грань стандартного симплекса  .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что  .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей  , что  , и границ — цепей   для некоторого  .

Факторгруппа группы циклов по группе границ   называется группой сингулярных гомологий.

ПримерПравить

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки  .

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение  .

Граница симплекса  , где все   равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим  ).

Значит:

 , если   нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);
 , если   и четно;
 , если  .

Отсюда получаем для нулевой размерности:  

Для нечётной размерности  

Для чётной размерности  

То есть группа гомологий равна   для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

ИсторияПравить

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.