В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k , обозначаемым
S
(
n
,
k
)
{\displaystyle S(n,k)}
{
n
k
}
{\displaystyle \textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace }
разбиений n -элементного множества на k непустых подмножеств.
Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют рекуррентным соотношениям:
1)
S
(
n
,
k
)
=
S
(
n
−
1
,
k
−
1
)
+
k
⋅
S
(
n
−
1
,
k
)
{\displaystyle S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)}
0
<
k
≤
n
{\displaystyle 0<k\leq n}
2)
S
(
n
,
k
)
=
∑
j
=
0
n
−
1
(
n
−
1
j
)
S
(
j
,
k
−
1
)
{\displaystyle S(n,k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}S(j,k-1)}
при естественных начальных условиях
S
(
0
,
0
)
=
1
{\displaystyle S(0,0)=1}
S
(
n
,
0
)
=
0
{\displaystyle S(n,0)=0}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
S
(
j
,
k
)
=
0
{\displaystyle S(j,k)=0}
k
>
j
{\displaystyle k>j}
S
(
n
,
k
)
=
1
k
!
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
+
j
(
k
j
)
j
n
.
{\displaystyle S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{j=0}^{k}(-1)^{k+j}{\binom {k}{j}}j^{n}.}
0
≤
n
,
k
≤
9
{\displaystyle 0\leq n,k\leq 9}
править
n\k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
0
1
3
1
4
0
1
7
6
1
5
0
1
15
25
10
1
6
0
1
31
90
65
15
1
7
0
1
63
301
350
140
21
1
8
0
1
127
966
1701
1050
266
28
1
9
0
1
255
3025
7770
6951
2646
462
36
1
x
n
=
∑
k
=
0
n
S
(
n
,
k
)
⋅
(
x
)
k
,
{\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\cdot (x)_{k},}
(
x
)
k
=
x
(
x
−
1
)
⋯
(
x
−
k
+
1
)
.
{\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)\cdots (x-k+1).}
S
(
m
,
n
)
=
∑
i
=
n
−
1
m
−
1
(
m
−
1
i
)
S
(
i
,
n
−
1
)
{\displaystyle S(m,n)=\sum _{i=n-1}^{m-1}{\binom {m-1}{i}}\,S(i,n-1)}
∑
m
=
0
n
S
(
n
,
m
)
=
B
n
{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}S(n,m)=B_{n}}
число Белла . 
