Открыть главное меню

Связное двоеточие

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова, — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа, наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

ОпределениеПравить

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов   («открыто») и   («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

  1.   — пустое множество;
  2.   — множество из одного элемента «открыто»;
  3.   — всё пространство.

ОписаниеПравить

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только  , а замкнутым — только  . Мы видим, что точка   не имеет окрестностей, кроме всего пространства, следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка   не является замкнутым подмножеством.

СвойстваПравить

  • Отображение   из топологического пространства   в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз   точки   открыт в   (или, что то же самое, прообраз   точки   замкнут в  ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
  • Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.
  • Александровский куб  , где   — связное двоеточие, является универсальным пространством для  -пространств веса   при  , т.е. любое   — пространство веса   гомеоморфно подпространству пространства  .

ЛитератураПравить

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0.

Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.