Связное пространство

(перенаправлено с «Связное множество»)

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Множество A связно, а множество B несвязно.

Определение

править

Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.

Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.

Эквивалентные определения

править

Пусть   — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

  1.   связно.
  2.   нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
  3. Единственные подмножества  , являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество   и всё пространство  .
  4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество   и всё пространство  .
  5.   не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
  6. Единственными непрерывными функциями из   в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

Связанные определения

править
  • Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
    • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство   рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
  • Если существует база топологии пространства  , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства   и само пространство   (в этой топологии) называются локально связными.
  • Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
  • Пространство  , для любых двух различных точек   и   которого существуют открытые непересекающиеся множества   и   такие, что  , называется вполне раздельным.[источник не указан 2330 дней] Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества  , введём на нём отношение эквивалентности по правилу  . Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

Свойства

править
  • В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
  • В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
    • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
  • Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
  • Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
  • Замыкание связного подмножества   связно.
    • Более того, всякое «промежуточное» подмножество   ( ) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество   плотно в  , то множество   тоже связно.
  • Пусть   — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством  . Тогда множество
     
тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
  • Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
  • Каждая компонента пространства   является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства   не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества   пространства   — это максимальные связные подмножества множества  .
  • Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
  • Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
  • В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
  • Любое линейно связное пространство связно.
    • Обратное неверно; например замыкание графика функции   связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок   на оси ординат).

Примеры

править

Вариации и обобщения

править

См. также

править