Обсуждение:Расширенная числовая прямая

Одна бесконечно удалённая точка

См. также: Вещественное число, Бесконечно удалённая точка и Бесконечность

По поводу изменений от 23.02.2017. Эта лаконичность препятствует пониманию, особенно если читатель не математик. Что это за фраза "В некоторых дидактических материалах..."? Т.е. как бы утверждается, что один способ определения бесконечно удалённой точки является правильным, а остальные - вроде и правильные, раз о них пишут авторитетные авторы, но второсортные. Раз уж у вас монополия на внесение правок, как умный человек, проявите гибкость и беспристрастность, верните исходный текст (возможно, где-то исправьте его), где прямо говорится о двух вариантах определения бесконечно удалённой точки, не стоит какой-то из вариантов принижать, другой выпячивать. И пояснения лишними не будут - здесь ведь текст пишется не только для профессиональных математиков. Та же просьба к смежным разделам.— Эта реплика добавлена с IP 95.191.248.165 (о) 2017-02-23 12:12:57‎

• В подавляющем большинстве учебников по анализу вводится расширенная числовая прямая с двумя бесконечно удалёнными точками и никак иначе, и изложение от этого существенно зависит. При этом в базовых целях анализа можно работать и с одной бесконечностью, не включая её в отношение порядка, что и отмечено в учебнике Кудрявцева, но это ровно первый найденный источник, где это говорится, да и у самого Кудрявцева в дальнейшем изложение основано на двух бесконечностях. Где-то одна бесконечность удобна в изложении базовых вещей, но при переходе к топологии дело существенно усложняется. Так что лучше оставить как сейчас: возможность такая упомянута, и не где попало, а в преамбуле, но при этом как не равнозначимая с основным вариантом, а как [дидактическая] возможность изложить с одной бесконечностью (иначе и весь материал надо было бы перелопачивать по поводу поддержки второго варианта определения), bezik° 12:36, 23 февраля 2017 (UTC)
• С последним аргументом, в целом, согласен. Как знаете. Но хочу заметить, что количество источников не показатель общепринятости того или иного взгляда. Так, когда я учился в университете, я сталкивался с таким термином как эпсилон-окрестность бесконечности. Это неявное рассмотрение обеих бесконечностей со знаком в качестве одной точки. Также в ряде формул пишут просто бесконечность, хотя фактически там могут быть обе бесконечности. Это сложившаяся в среде профессионалов практика, де-факто такой вариант определения расширенной оси широко используется, но явно его почему-то редко определяют. 95.191.248.165 16:14, 23 февраля 2017 (UTC)
  • У нас работает принцип ВП:ВЕС, по которому информацию мы стараемся предоставлять пропорционально её представленности в источниках, и здесь явно тот случай, когда про вариант с одной бесконечно удалённой точкой мы сказать должны, но выставлять его как равнозначный наиболее распространённому варианту с двумя бесконечностями явно не сто́ит, bezik° 16:45, 23 февраля 2017 (UTC)
• Понятие $\pm \infty$ (или же $\infty$ без знака) действительно часто используется. Но вопрос в том, используется ли термин «Расширенная числовая прямая» по отношению к $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. У Кузнецова сказано: «Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R один элементом $\infty$ (бесконечность без знака)». Но отсюда не следует, что то, что при этом получится, обозначают ${\bar {\mathbb {R} }}$. Поэтому предлагаю создать статью Бесконечно удалённая точка (действительный анализ) по аналогии с Бесконечно удалённая точка (комплексный анализ), в которой написать и про $+\infty$, $-\infty$, и про $\pm \infty$ и их окрестности. А в этой статье писать именно про расширение $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$. А то сейчас получается странно: мы пишем про $\pm \infty$, но ни объясняем толком, что это такое, ни пишем про ее окрестности. А а прошлой версии объяснение (через пределы) не формально и не соответсвует учебникам. P.S. Монополии на внесение правок ни у кого нет, но при отмены вашей правки, не принято отменять отмену, а принято начинать обсуждение. — Алексей Копылов 18:49, 23 февраля 2017 (UTC)
  • Согласен с тем фактом, что $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ — совсем другой объект (и уже не прямая), и для этого объекта возможен самостоятельный предмет статьи. Но упомянуть его здесь, как мне представляется, всё же стоит, поскольку в тех местах, где его вводят, говорят о нём в контексте и в связи с расширенной числовой прямой в стандартном смысле (можно сделать с красной ссылкой), bezik°
  • Строго говоря, если мы расширим числовую прямую двумя бесконечностями со знаком, мы тоже получим не прямую, а отрезок. То, что получившийся в результате расширения одной бесконечностью объект топологически не прямая, не играет никакой роли, поскольку здесь речь о другом - о расширении действительной прямой, это устоявшийся термин и предмет данной статьи (не вижу особых причин создавать для этого отдельную статью, если только текст не станет слишком объёмным). Нужно просто исходить из того, что есть два определения расширенной числовой прямой, и написать об этом. Так что упоминание здесь обоих способов расширения считаю полностью уместным. Между прочим, то, что два способа расширения формально приводят к разным объектам, не отменяет того обстоятельства, что все три вида бесконечности - это одна бесконечно удалённая точка, о ней так и говорят в единственном числе. Когда мы рассматриваем, например, односторонний предел к нулю, мы же понимаем, что все три объекта +0, -0 и просто 0 - одна точка... 95.191.248.165 02:15, 24 февраля 2017 (UTC)
• Если в том же параграфе книги, где определяется расширенная числовая прямая, есть слова "а можно расширить так-то", разве этого мало, чтобы считать это альтернативным определением? Или должно быть обязательно написано "расширенной числовой прямой называется..."? Извините, но это буквоедство. И я только за, чтобы добавить сюда объяснение (формальное и/или неформальное), что такое бесконечность без знака. P.S. Алексей, полностью удаляя все правки лишь под предлогом нехватки источников, вы сделали то же самое. И обсуждение в итоге всё же я начал. 95.191.248.165 01:08, 24 февраля 2017 (UTC)

Неравенства

Почему бы не заменить

$-\infty <x,\quad x<+\infty ,\quad -\infty <+\infty$

на

$-\infty <x<+\infty$

? >> Kron7 13:24, 23 мая 2013 (UTC)

Стиль раздела «Мотивировка»

Название и стиль изложения информации в разделе «Мотивировка» неэнциклопедичны. В них используются просторечия:

• Название раздела не очень подходящее
• Раздел начинается с какой-то неоконченной мысли:

При формулировке многих теорем и определений[...]

• Рассмотрим первое предложение:

При формулировке многих теорем и определений в математическом анализе приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».

• Слово "многих" неуместно. Нужно указать для примера каких или переформулировать.
• Слово "приходится". Напрашивается вопрос "кому?".

• Еще предложение:

Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности $+\infty$ и $-\infty$ как равноправные члены системы ${\overline {\mathbb {R} }}$, наряду с конечными числами.

• При чтении фразы "Эти соображения наводят на мысль" возникает вопрос "кого?".
• Фраза "рассматривать бесконечности $+\infty$ и $-\infty$ как равноправные члены системы ${\overline {\mathbb {R} }}$" - плохая. Лучше сказать, что $+\infty$ и $-\infty$ в такой же мере являются элементами множества ${\overline {\mathbb {R} }}$, как и конечные вещественные числа.

• Последнее предложение:

Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.

• Слишком общее высказывание. Нужно больше конкретики, примеры.
• Также это предложение несколько ОРИССно. >> Kron7 10:26, 15 апреля 2014 (UTC)

• Раздел удалён. Оставлю тут ссылку на последнюю версию этого раздела, на случай если кто-то захочет переписать в энциклопедическом стиле, снабдив ссылками на АИ. Раздел-то вообще-то нужный.— Алексей Копылов 18:58, 23 февраля 2017 (UTC)