Открыть главное меню

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Содержание

ОпределениеПравить

Формально компактификация пространства   определяется как пара  , где   компактно,   вложение такое, что   плотно в  .

ПримерыПравить

Одноточечная компактификацияПравить

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть   и открытыми множествами в   считаются все открытые множества  , а также множества вида  , где   имеет компактное (в  ) дополнение.   берётся как естественное вложение   в  .   тогда компактификация, причём   хаусдорфово тогда и только тогда, когда   хаусдорфово и локально компактно.

ПримерыПравить

  •   с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
    • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с   (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с  .
    • Аналогично,   гомеоморфно  -мерной сфере.

Компактификация Стоуна — ЧехаПравить

На компактификациях некоторого фиксированного пространства   можно ввести частичный порядок. Положим   для двух компактификаций  ,  , если существует непрерывное отображение   такое, что  . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается  . Для того, чтобы у пространства   существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы   удовлетворяло аксиоме отделимости  , то есть было вполне регулярным.

ПримечанияПравить

  1. Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».