Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

ОпределениеПравить

Непрерывная функция  , заданная в точках   произвольной  -мерной области   пространства  , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар   с центром в точке  , принадлежащий вместе со своей границей области  , справедливо неравенство  , и супергармонической, если  .[1]

Основные свойстваПравить

  1.   — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  2. Если   — открытое множество и   (  — класс дважды непрерывно дифференцируемых на   функций), то для субгармоничности   необходимо и достаточно выполнение на   условия   (  — оператор Лапласа).
  3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

СвойстваПравить

  • Для любой аналитической функции   определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция
     
является субгармонической.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. — М.: Наука, 1968.


ЛитератураПравить

  • Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.