Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция $U(M)$, заданная в точках $M(x_{1},\;\ldots ,\;x_{k})$ произвольной $k$-мерной области $G$ пространства $E_{k}$, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар $Q$ с центром в точке $M_{0}$, принадлежащий вместе со своей границей области $G$, справедливо неравенство $U(M_{0})\leqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma$, и супергармонической, если $U(M_{0})\geqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q))}}\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\sigma$.

Основные свойства

1. $f$ — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ — открытое множество и $f\in {\mathcal {C}}^{2}(G)$ (${\mathcal {C}}^{2}(G)$ — класс дважды непрерывно дифференцируемых на $G$ функций), то для субгармоничности $f$ необходимо и достаточно выполнение на $G$ условия $\Delta f\geqslant 0$ ($\Delta$ — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

• Для любой аналитической функции $f(z)$ определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция

  $\varphi (z)=\log |f(z)|$

является субгармонической.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция

Литература

• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.