Плюрисубгармоническая функция

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция $u=u({\vec {z}})$ , от $n$ комплексных переменных ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ в области $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, $n\geqslant 1$, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $u(z)$ полунепрерывна сверху всюду в $D$;
2. $u(z_{0}+\lambda a)$ есть субгармоническая функция переменного $\lambda \in \mathbb {C}$ в каждой связной компоненте открытого множества $\{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\}$ для любых фиксированных точек $z_{0}\in D$, $a\in \mathbb {C} ^{n}$.

Примеры

$\ln |f(z)|$, $|f(z)|^{p}$ при $p\geqslant 0$, где $f(z)$ — голоморфная функция в $D$.

Связанные определения

Функция $v(z)$ называется плюрисупергармонической функцией, если $-v(z)$ есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при $n>1$ обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

• $u(z)$ есть плюрисубгармоническая функция в области $D$ тогда и только тогда, когда $u(z)$ — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки $z\in D$;
• линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
• пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
• для любой точки $z_{0}\in D$ среднее значение

$\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u$

по сфере радиуса $r$, есть возрастающая функция по $r$, выпуклая относительно $\ln r$ на отрезке $0<r<R$, если шар $B_{R}(z_{0})$ расположен в $D$;

• при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
• если $u(z)$ — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области $D$, $E$ — замкнутое связное аналитическое подмножество $D$ и сужение $u|_{E}$ достигает максимума на $E$, то $u(z)=\mathrm {const}$ на $E$.

См. также

• Плюригармоническая функция

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука, 1976. — 720 с.
• Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — Москва: Государственное издательство физико- математической литературы, 1963. — 428 с.