Полунепрерывная функция

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

Определения

• Пусть дано полное метрическое пространство $(X,\varrho ).$ Вещественнозначная функция $f:X\to \mathbb {R}$ называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке $x_{0}\in X$, если

$\varliminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})\right).$

• Функция $f$ называется полунепрерывной снизу (сверху) на $M\subset X$, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех $x_{0}\in M$.

Свойства

• Функция $f:X\to \mathbb {R}$ полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ открыто при любом $a\in \mathbb {R} .$
• Пусть $f,g:X\to \mathbb {R}$ суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма $f+g$ также полунепрерывна снизу (сверху).
• Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке $x_{0}$ функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в $x_{0}$. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций $f_{n}:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ таких, что $f_{n+1}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in \mathbb {N} \;\forall x\in X.$ Тогда если существует предел $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$ то $f$ полунепрерывна снизу (сверху).
• Если $u:X\to \mathbb {R}$ и $v:X\to \mathbb {R}$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
       $-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
  то существует непрерывная функция $f:X\to \mathbb {R}$, такая что
      $v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.$
• (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество $K\subset X.$ Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция $f:K\to \mathbb {R}$ достигает на $K$ своего минимума (максимума).

Примеры

• Целая часть $x\mapsto [x]$ является полунепрерывной сверху функцией;
• Дробная часть $x\mapsto \{x\}$ полунепрерывная снизу.
• Индикатор $\mathbf {1} _{U}$ произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой $\varrho$, множества $U\subset X$ является полунепрерывной снизу функцией.
• Индикатор $\mathbf {1} _{V}$ произвольного замкнутого множества $V\subset X$ является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
• Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.