Последовательность

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.

В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.

ПримерыПравить

Примеры числовой последовательности:

  • Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
  • Многочлен от одной переменной   можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов.
  • Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных бесконечных числовых последовательностей.
  • Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностейпериодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа   конечна и равна  , а цепная дробь числа   уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом:  .
  • В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
  • Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на  -ой позиции находится множество всех многочленов степени   с целыми коэффициентами от одной переменной.

Числовая последовательностьПравить

Строгое определениеПравить

Пусть задано некоторое множество   элементов произвольной природы.

Всякое отображение   множества натуральных чисел   в заданное множество   называется последовательностью[1] (элементов множества  ).

ОбозначенияПравить

Последовательности вида

 

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

  или  .

Иногда используются фигурные скобки:

 .

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

 .

Также последовательность может быть записана как

 ,

если функция   была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при   последовательность можно записать в виде  .

Связанные определенияПравить

  • Образ натурального числа  , а именно элемент  , называется  -ым членом последовательности, а порядковый номер   члена последовательности   — его индексом.
  • Подмножество   множества  , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
  • Подпоследовательностью последовательности   называется зависящая от   последовательность  , где   — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

ЗамечанияПравить

  • Любое отображение множества   в себя также является последовательностью.
  • Последовательность элементов множества   может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество  , изоморфное множеству натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностейПравить

 
Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательности чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений
  1. Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например:  
  2. Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие:  
  3. Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.

Последовательность действийПравить

 
Блок-схема последовательности шагов (алгоритм Евклида) для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел a и b в точках с именами A и B. Алгоритм выполняется последовательным вычитанием в двух циклах: ЕСЛИ тест B ≥ A дает «да» или "истина" (точнее, число b в позиции B больше или равно числу a в позиции A) ТОГДА алгоритм определяет B ← B - A (что означает, что число b - a заменяет старое число b). Точно так же ЕСЛИ A> B, ТОГДА A ← A - B. Процесс завершается, когда (содержимое) B равно 0, что дает НОД в A. (Алгоритм, полученный из Scott 2009: 13; символы и стиль рисования из Tausworthe 1977).

«Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»[3][4]

Последовательности в математикеПравить

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

  • Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
  • Поиск закономерностей среди членов последовательности.
  • Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для  -го члена последовательности. Например, для  -го простого числа неплохое приближение даёт формула:   (существуют и более точные).
  • Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу  числовому или не числовому, в зависимости от типа множества  

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Последовательность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 506—507.
  2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы. — Москва: Просвещение, 1988. — 416 с.
  3. Толковый словарь / под ред. Д. В. Дмитриева. — АСТ, Lingua, Астрель, 2003. — 1584 с. — ISBN 5-17-016483-1, 5-271-05995-2.
  4. И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. основы алгоритмизации и программирования. — Москва: Издательский центр "Академия", 2016. — С. 10. — 303 с. — ISBN 978-5-4468-3155-5.

ЛитератураПравить