Открыть главное меню

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю)[1]. Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

СвойстваПравить

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число   — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения   (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

  1. Если   — трансцендентное число, то   и   также трансцендентны.
  2. Если   — ненулевое алгебраическое число, а   — трансцендентное число, то   трансцендентны.
  3. Если   — трансцендентное число, а  натуральное число, то   и   трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чиселПравить

ИсторияПравить

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа   и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если  ,   — алгебраическое число, и   — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что   — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число  . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщенияПравить

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел[1].

Некоторые открытые проблемыПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1985.
  2. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  3. Weisstein, Eric W. Число π (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить