Открыть главное меню

Мера иррациональности действительного числа  — это действительное число , показывающее, насколько хорошо может быть приближено рациональными числами.

ОпределениеПравить

Пусть   — действительное число, и пусть   — множество всех чисел   таких, что неравенство   имеет лишь конечное число решений в целых числах   и  :

 

Тогда мера иррациональности   числа   определяется как точная нижняя грань  :

 

Если  , то полагают  .

Другими словами,   — наименьшее число, такое, что для любого   для всех рациональных приближений   с достаточно большим знаменателем верно, что  .

Возможные значения меры иррациональностиПравить

Связь с цепными дробямиПравить

Если   — разложение числа   в цепную дробь, и   —  -ая подходящая цепная дробь, то

 

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения  , и тогда  .

Теорема Туэ — Зигеля — РотаПравить

По лемме Дирихле, если   иррационально, то  , то есть  . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа   степени   можно подобрать константу   такую, что  . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота[en]*. Она утверждает, что если   — алгебраическое иррациональное число, то  . Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чиселПравить

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что  , а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

  •  
  •  [1]
  •  [2]
  •  [3]
  •  
  •  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Max A. Alekseyev On convergence of the Flint Hills series, 2011.
  2. Zudilin W. Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of ζ(2), 2013.
  3. В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3 , Изв. РАН. Сер. матем. , 2015, том 79, выпуск 1, 3–20

СсылкиПравить