Атом (теория меры)

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение

Если есть измеримое пространство $(X,\Sigma )$ и мера $\mu$ на этом пространстве, то множество $A$ из $\Sigma$ называется атомом, если

$\mu (A)>0$

и для любого измеримого подмножества $B$ множества $A$ из

$\mu (A)>\mu (B)$

следует, что

$\mu (B)=0.$

Примеры

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра $\Sigma$ есть множество всех подмножеств X. Определим меру $\mu$ множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные меры

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества $A$ с $\mu (A)>0$ существует такое измеримое подмножество B множества A, что

$\mu (A)>\mu (B)>0.$

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой $\mu (A)>0$ можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$

такую, что

$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с $\mu (A)>0,$ то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

$\mu (A)\geq b\geq 0$

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

$\mu (B)=b.$

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство $(X,\Sigma ,\mu )$ и $\mu (X)=c$, то существует функция $S:[0,c]\to \Sigma$, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех $0\leq t\leq t'\leq c$

$S(t)\subset S(t'),$

$\mu \left(S(t)\right)=t.$

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

$\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},$

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в $\Gamma$ имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент $\Gamma$ имеет область определения $[0,c]$, что и доказывает утверждение.

См. также

• Дельта-функция Дирака
• Элементарные события, известные также как события-атомы

Ссылки

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis (англ.). — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X.

• Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6.