Теорема Хана — Банаха

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

  • Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
  • Теорему о разделении выпуклых множеств;
  • Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажорантыПравить

Пусть   — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел   и   — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства   линейного пространства   каждый линейный функционал  , удовлетворяющий условию

 ,

может быть продолжен на все пространство   с сохранением этого неравенства.

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или супераддитивности функционала   для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала:  ,  ,  .

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда   — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционалаПравить

Всякий линейный ограниченный функционал  , определённый на линейном многообразии   линейного нормированного пространства  , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.

ДоказательствоПравить

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть  . Рассмотрим линейное пространство вида:

 

Продолжение   на   запишем:

 

где   — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных   и   выполняется:

 
 
 
 

Отсюда

 

Как следствие

 

Определим   так

 

Выполняется равенство

 .

Определим

 

Для всех   и произвольных   выполняется неравенство:

 

поэтому

 

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть   является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
  • Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
  • Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
  • Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

ПримечанияПравить