Банаховы пределы

Линейный функционал называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) [Примечание 1]

2) для любых

3) для любого , где  — оператор сдвига, действующий следующим образом:

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что и , если последовательность сходится. Множество банаховых пределов обозначается как . выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства . Из неравенства треугольника следует, что для любых справедливо неравенство . Если и являются крайними точками множества , то [2].

Лемма 1Править

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если , то [3].

Теорема 1Править

Функционал можно представить в виде () тогда и только тогда, когда

  1. для всех

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы [3].

Понятие почти сходимостиПравить

Для заданных   ,  , для любых  

 

равномерно по   [4]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом[5]:

 

Последовательность   называется почти сходящейся к числу  , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны  . Используется следующее обозначение:  . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение  .  линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в   . Множество почти сходящихся к числу   последовательностей обозначается как  . Ясно, что   для любого   [3].

ПримерПравить

Последовательность   не имеет обычного предела, но   . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности:   .

 

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2Править

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду [3].

Характеристические функцииПравить

Системой Радемахера называется последовательность функций

 

Каждому   можно поставить в соответствие функцию

 

которая называется характеристической функцией банахова предела  .  комплекснозначная функция[6].

Теорема 2Править

Если   и   для всех   , то   для всех   [6].

Свойства характеристических функцийПравить

Пусть   , тогда

  1.   периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из  
  2.   для любых  
  3.   , что   для любого   и  
  4. график   плотен в прямоугольнике  
  5.   для всех  

[6]

ИсточникиПравить

ПримечанияПравить

  1. Здесь и далее под   понимается последовательность  

ЛитератураПравить