Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от , такой, что для любого выполняется неравенство .

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

ИсторияПравить

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

ОпределениеПравить

Число   называется пределом числовой последовательности  , если последовательность   является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

 

Если число   является пределом числовой последовательности  , то говорят также, что последовательность   сходится к  . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности  , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность   стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

 

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

 

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

 

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

ОбозначенияПравить

Тот факт, что последовательность   сходится к числу   обозначается одним из следующих способов:

  •  

или

  •  

СвойстваПравить

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

СвойстваПравить

Арифметические свойстваПравить

  • взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
    • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
       
    • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
       
  • Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
     
  • Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
     

Свойства сохранения порядкаПравить

  • Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
     
  • Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
     
  • Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
     
  • Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
     
  • Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
     
  • Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
     

Другие свойстваПравить

  • Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
     
  • Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
     
  • Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
     
  • Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
  • У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
  • Если у последовательности   существует предел, то последовательность средних арифметических   имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
  • Если у последовательности чисел   существует предел  , и если задана функция  , определённая для каждого   и непрерывная в точке  , то
     

ПримерыПравить

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Случай комплексных чиселПравить

Комплексное число   называется пределом последовательности  , если для любого положительного числа   можно указать такой номер  , начиная с которого все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству
  при  

Последовательность  , имеющая предел  , называется сходящейся к числу  , что записывается в виде  .

ПримерыПравить

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве   последовательность  , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы,  , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.