Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число $a$ называется пределом последовательности $\{x_{n}\}$ , если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N_{\varepsilon }$ , зависящий от $\varepsilon$ , такой, что для любого $n>N_{\varepsilon }$ выполняется неравенство $\ |x_{n}-a|<\varepsilon$ .

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число $a\in \mathbb {R}$ называется пределом числовой последовательности $\{x_{n}\}$ , если последовательность $\{x_{n}-a\}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число $a\in \mathbb {R}$ является пределом числовой последовательности $\{x_{n}\}$ , то говорят также, что последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к $a$ . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности $\{x_{n}\}$ , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность $\{x_{n}\}$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}>E

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}<-E

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к числу $a$ обозначается одним из следующих способов:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

или

$x_{n}~{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}~a$

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства

Единственность предела.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Арифметические свойства

взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
- Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
  $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}+\lim _{n\to \infty }y_{n}$
- Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
  $\forall k\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }kx_{n}=k\lim _{n\to \infty }x_{n}$
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
$\lim _{n\to \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }y_{n}$
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}}}$

Свойства сохранения порядка

Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a$
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\geqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a$
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}<a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a$
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}>a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a$
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}$
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant z_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }z_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}$

Другие свойства

Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\land ~\lim _{n\to \infty }x_{n}=b~\Rightarrow ~a=b$

Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
$\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\in [a,~b]~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\in [a,~b]$

Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
$\lim _{n\to \infty }x=x$

Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

Имеет место теорема Штольца.

Если у последовательности $x_{n}$ существует предел, то последовательность средних арифметических ${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

Если у последовательности чисел $\{x_{n}\}$ существует предел $x$ , и если задана функция $f(x)$ , определённая для каждого $x_{n}$ и непрерывная в точке $x$ , то
$\lim _{n\to \infty }{f(x_{n})}=f(x)$

Примеры

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=0$

$\forall q\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=0$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$

$\forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon \lim _{n\to \infty }\underbrace {\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots +{\sqrt {a}}}}}} _{n}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=x$

$\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>0~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{n}}}$

$\lim _{n\to \infty }n=+\infty$

$\nexists \lim _{n\to \infty }(-1)^{n}$

Случай комплексных чисел

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности $\{z_{n}\}$ , если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно указать такой номер $N=N(\varepsilon )$ , начиная с которого все элементы $z_{n}$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_{n}-a|<\varepsilon$ при $n\geqslant N(\varepsilon )$

Последовательность $\{z_{n}\}$ , имеющая предел $a$ , называется сходящейся к числу $a$ , что записывается в виде $\lim \limits _{n\to \infty }z_{n}=a$ .

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x_{n}$ последовательность $x_{n}=(-1)^{n}$ , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, $1,-1$ , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также

Примечания

↑ Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.

[1] Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.

[ilyin-2] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.

[1]

[2]