Теорема о двух милиционерах

Графики функций , и

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция такая, что для всех в некоторой окрестности точки , причём функции и имеют одинаковый предел при , то существует предел функции при , равный этому же значению, то есть

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность такая, что для всех ,причём последовательности и имеют одинаковый предел при , то существует предел последовательности при , равный этому же значению, то есть

ДоказательствоПравить

Из неравенства   получаем неравенство  . Условие   позволяет сказать, что для любого   существует окрестность  , в которой верны неравенства   и  . Из изложенных выше неравенств следует, что   при  , что удовлетворяет определению предела, то есть  [1].

Название и зарубежная терминологияПравить

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. — М.: АСТ; Астрель, 2007. — С. 121-122. — ISBN 978-5-17-004601-0 ; 978-5-271-01318-8 ; 978-985-16-4561-5.

СсылкиПравить