Теорема Штольца

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца[1].

ФормулировкаПравить

Пусть   и   — две последовательности вещественных чисел, причём   положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

 ,

то существует и предел

 ,

причём эти пределы равны.

ДоказательствоПравить

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу[2], другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова[3].

Допустим сначала, что предел равен конечному числу  , тогда для любого заданного   существует такой номер  , что при   будет иметь место:

 .

Значит, для любого   все дроби:

 

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности  ), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

 ,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при  :

 .

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

 ,

откуда имеем

 .

Второе слагаемое при   становится меньше  , первое слагаемое также станет меньше  , при  , где   — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что  . Если взять  , то при   будем иметь

 ,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

 ,

из этого следует, что при достаточно больших  :

  и
 ,

причём последовательность   строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению  :

 ,

откуда и следует, что:

 .

Если предел равен  , то нужно рассмотреть последовательность  .

СледствиеПравить

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность   сходится к числу  , то последовательность средних арифметических   сходится к этому же числу.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить