Открыть главное меню

Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

ОпределенияПравить

Пусть имеется множество  , на котором введено отношение порядка.

Последовательность   элементов множества   называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

  — неубывающая  

Последовательность   элементов множества   называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

  — невозрастающая  

Последовательность   элементов множества   называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

  — возрастающая  

Последовательность   элементов множества   называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

  — убывающая  

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонностиПравить

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров  , а лишь для номеров из некоторого диапазона

 

(здесь допускается обращение правой границы   в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке  , а сам диапазон   называется промежутком монотонности последовательности.

ПримерыПравить

  • Последовательность натуральных чисел.
    •  .
    • Начальные отрезки:  .
    • Возрастающая последовательность.
    • Состоит из натуральных чисел.
    • Ограничена снизу, сверху не ограничена.
  • Последовательность Фибоначчи.
    •  
    • Начальные отрезки:  .
    • Неубывающая последовательность.
    • Состоит из натуральных чисел.
    • Ограничена снизу, сверху не ограничена.
  • Геометрическая прогрессия с основанием  .
    •  .
    • Начальные отрезки:  .
    • Убывающая последовательность.
    • Состоит из рациональных чисел.
    • Ограничена с обеих сторон.
  • Последовательность, сходящаяся к числу e.
    •  .
    • Начальные отрезки:  .
    • Возрастающая последовательность.
    • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
    • Ограничена с обеих сторон.
  • Последовательность рациональных чисел вида   не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке   и (строго) возрастает на промежутке  .

СвойстваПравить

  • Ограниченность.
    • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
    • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
    • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

ПримечанияПравить

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. такжеПравить