Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не возрастают, или, наоборот, не убывают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество $X$, на котором введено отношение порядка.

Последовательность $\{x_{n}\}$ элементов множества $X$ называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

$\{x_{n}\}$ — неубывающая $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}$

Последовательность $\{x_{n}\}$ элементов множества $X$ называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

$\{x_{n}\}$ — невозрастающая $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}$

Последовательность $\{x_{n}\}$ элементов множества $X$ называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

$\{x_{n}\}$ — возрастающая $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}$

Последовательность $\{x_{n}\}$ элементов множества $X$ называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

$\{x_{n}\}$ — убывающая $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}$

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров $n\in \mathbb {N}$, а лишь для номеров из некоторого диапазона

$I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}$

(здесь допускается обращение правой границы $N_{+}$ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке $I$, а сам диапазон $I$ называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n$.
  • Начальные отрезки: $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}$
  • Начальные отрезки: $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$.
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием $1/2$.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}$.
  • Начальные отрезки: $(1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )$.
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.
  • Начальные отрезки: $(2,9/4,64/27,625/256,\cdots )$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке $\{1,\,\!2,3,4\}$ и (строго) возрастает на промежутке $\{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}$.

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

См. также

• Монотонная функция