Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

Содержание

ОписаниеПравить

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

 

Если   и  , прогрессия является возрастающей последовательностью, если  , — убывающей последовательностью, а при   — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

 

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

ПримерыПравить

 
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8—9.

  • Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  •   — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
  • 3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -2.
  • 1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -1.

СвойстваПравить

  •  , если  .
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
     .
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
     .
  • Сумма   первых членов геометрической прогрессии:
     
  • Если  , то   при  , и
      при  .

ПримечанияПравить

  1. Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
  2. Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

См. такжеПравить