Открыть главное меню

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел , , , (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (называемое знаменателем прогрессии), где , : , , , , [1].

Содержание

ОписаниеПравить

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

 

Если   и  , прогрессия является возрастающей последовательностью, если  , — убывающей последовательностью, а при   — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

 

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

ПримерыПравить

 
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8—9.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  •  ,  ,  ,   — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
  • 3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -2.
  • 1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -1.

СвойстваПравить

  •  , если  .
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
     
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
     
  • Сумма   первых членов геометрической прогрессии
     
  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
 , то   при  , и
  при  .

ПримечанияПравить

  1. Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
  2. Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

См. такжеПравить