Открыть главное меню

Числовой ряд — одно из центральных понятий математического анализа. Ряд записывается как бесконечная сумма[1]:

; краткая запись:

Здесь последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить такому ряду числовое значение, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

Если последовательность частичных сумм имеет предел (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится[1].

Ряды широко применяются в математике и других науках для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций и т. п.

Содержание

ПримерыПравить

 
Анимация, показывающая сходимость частичных сумм геометрической прогрессии   (красная линия) к её сумме   (синия линия) при  .

Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии[2] со знаменателем  :

 

Частичная сумма   Предел этого выражения   это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии[1]. Например, при   получается ряд, сумма которого равна 2:

 

Десятичную дробь с бесконечной дробной частью можно рассматривать как сумму ряда[2]; например, число   есть сумма следующего ряда:

 

Более сложным примером является ряд обратных квадратов, сумму которого лучшие математики Европы не могли найти более 100 лет:

 

Ряд   расходится, сумма его бесконечна. Расходится и гармонический ряд:  «Ряд Гранди»   расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет.

Классификация рядовПравить

Положительный ряд — ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна.

Знакочередующийся ряд — ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. Для таких рядов существует простой признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся вариант приведенного выше гармонического ряда, в отличие от последнего, сходится:

 

Говорят, что числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин его членов:

 

Абсолютно сходящийся ряд сходится и в обычном смысле этого понятия. При этом всякий такой ряд обладает важным свойством переместительности: при любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд с той же суммой[3].

Критерий абсолютной сходимости: ряд из вещественных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся как ряд из положительных его членов, так и ряд из отрицательных членов.

Операции над рядамиПравить

Пусть заданы сходящиеся ряды   и  . Тогда:

  • Их суммой называется ряд   разностью — ряд  
  • Их произведением Коши[en] называется ряд  , где:
 

Если оба ряда сходятся, то их сумма и разность также сходятся. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из исходных рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости рядаПравить

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член   (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю:

 

Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным — у гармонического ряда общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится.

Сходимость числовых рядовПравить

Свойство 1. Если ряд

    (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

   (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

 ,

а их суммы равны   и   соответственно, то сходятся и ряды

 ,

причём сумма каждого равна соответственно  .

Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости (см. список).

Нерешённые проблемыПравить

До сих пор неизвестно, сходится ли «ряд Флинт Хиллз» (Flint Hills Series)[4]:

 

Если удастся доказать, что этот ряд сходится, то как следствие получится важный факт: мера иррациональности числа   меньше, чем 2,5.

Известно, что сумма ряда обратных квадратов и суммы других рядов с обратными чётными степенями выражаются через степени числа   но мало что известно про сумму обратных кубов («константу Апери»):

 .

Никто пока не сумел связать это значение с классическими константами или элементарными функциями[5].

Вариации и обобщенияПравить

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.

Обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда, выбор которой делает понятие суммы расходящегося (в классическом смысле) ряда приемлемым. Предложено множество вариантов такого обобщения: сходимость по Пуассону — Абелю, Борелю, Чезаро, Эйлеру, Ламберту и другие.

В анализе исследуются ряды не только из чисел, но и из функций: степенные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье, ряды Лорана и др.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Фихтенгольц, 1966, с. 257—258.
  2. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 258—259.
  3. Фихтенгольц, 1966, с. 315.
  4. Flint Hills Series
  5. Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — 872 с.
  • Зорич В. А.. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.
  • Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — 6-е изд.. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 680 с.

СсылкиПравить