Керальская школа астрономии и математики

Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику.

ИсторияПравить

После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (Махмуд Газневи) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала. Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы. Среди других видных учёных керальской школы:

Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (сиддхантах) на санскрите, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды[1]. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке[2].

Научные достиженияПравить

АстрономияПравить

Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой. В своей Ариабхатавахьязе, комментариях к Ариабхатье, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли[3]. Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

МатематикаПравить

Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа   со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах[1]:

  1. «Научный справочник» (Тантрасанграха), опубликован Нилакантой.
  2. «Техника действий» (Каранападдхати).
  3. «Нить светящихся жемчужин» (Садратанамала).
  4. «Объяснительный комментарий» (Юкти-бхаша), это комментарий к «Тантрасанграхе».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век)[4][5]:

  если  

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой, но появились впервые в трактате Нилаканты «Тантрасанграха» и в современных обозначениях имели вид[2][6]:

  где  
 
 

При   ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

 
 

Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружности[7][1]. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..

Из ряда для арктангенса легко получить[2] ряд для вычисления числа  :

 

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду[2]:

 

Как подсчитал Нилаканта,   Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа   в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число   иррационально[1].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Паплаускас А. Б., 1973.
  2. 1 2 3 4 Roy, Ranjan. 1990. Discovery of the Series Formula for   by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
  3. Ramasubramanian, K. Model of planetary motion in the works of Kerala astronomers (англ.) // Bulletin of the Astronomical Society of India (англ.) : journal. — Vol. 26. — P. 11—31 [23—4]. — Bibcode1998BASI...26...11R.
  4. Singh, A. N. On the Use of Series in Hindu Mathematics (неопр.) // Osiris. — 1936. — Т. 1. — С. 606—628. — DOI:10.1086/368443.
  5. Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
  6. Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13, 2002.
  7. История математики, том I, 1970, с. 202—203.