Длина окружности

Длина окружности C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = × D = 2 × × R.

Длина окружности (от латинского circumferens) — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра[1][2]. Периметр — общая длина границы фигуры.

КругПравить

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников[3]. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.

 
Если диаметр окружности равен 1, её длина равна  .
 
Если радиус окружности равен 1, её длина равна  .

Длина окружности и число пиПравить

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи ( ). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...[4] Пи определяется как отношение длины окружности   к её диаметру  :

 

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее радиусам. Формула выше принимает вид:

 

Использование константы   является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга[en]», написанной около 250 до н.э., Архимед показал, что это отношение ( , поскольку он не использовал обозначение  ) больше 31071, но меньше 317, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами[5]. Этот метод аппроксимации числа   использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристоф Гринбергер[en], использовавшим многоугольники с 1040 сторонами.

ЭллипсПравить

Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:

 

приблизительно равен

 

Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при   [6].

 
 
 

Здесь верхняя граница   — длина описанной концентирчной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница   — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.

Периметр эллипса может быть описана с помощью полного эллиптического интеграла второго рода[7]. Более точно:

 

где   — длина большой полуоси и   — эксцентриситет  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, с. 580, ISBN 978-0-321-22773-7 
  2. San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (недоступная ссылка). Addison-Wesley (2004). Дата обращения 6 марта 2020. Архивировано 6 октября 2014 года.
  3. Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0 
  4. Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation. 
  5. Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, с. 109, ISBN 978-0-321-01618-8, <https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109> 
  6. Jameson, G.J.O. Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) (англ.) // Mathematical Gazette (англ.) : journal. — 2014. — Vol. 98, no. 499. — P. 227—234. — doi:10.2307/3621497.
  7. Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.), American Mathematical Monthly Т. 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, <https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52> 

Внешние ссылкиПравить