Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

ОпределениеПравить

  • Пусть дан числовой ряд   Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:
  где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.
  • Пусть дан числовой ряд   Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:
 

ПримерПравить

Рассмотрим ряд   Данный ряд является расходящимся для произвольного   Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

 

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

СвойстваПравить

Пусть функция:

 

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку   проведём отрезок   и прямую  , которая проходит через точку Р перпендикулярно к  . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых   обозначим  . Тогда граница   области   называется многоугольником Бореля функции f(z), а область   её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

 

является B-сходящимся в области   и не является B-сходящимся в области   — дополнены до   .

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
  • Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
  • Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .