Сходимость по Пуассону — Абелю

Сходимость по Пуассону — Абелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное Пуассоном и Абелем.

Определение

Пусть $A$ обозначает числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд $A$ называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:

$\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)$

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$. Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: $\lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}$

Свойства

• Если $A$ — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и $s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$.
• Если ряды $A$ и $B$ сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение $C$ сходится по Пуассону — Абелю и $s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)$.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Эйлеру

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.