Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Определение

Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)$

Пример

• Рассмотрим ряд $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2^{k}$. Последовательностями разностей будут $1,2,4,8,16,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, $1,2,4,8,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, преобразование Эйлера приводит к ряду ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+...={\frac {1}{3}}$.

Свойства

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.