Открыть главное меню

Знакочередующийся ряд

(перенаправлено с «Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов»)

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Содержание

Признак ЛейбницаПравить

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

 ,

для которого выполняются следующие условия:

  1.  , начиная с некоторого номера ( ),
  2.  

Тогда такой ряд сходится.

Замечания

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница.

Следует отметить, что монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как   это необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд   сходится).

Ряд Лейбница может сходиться абсолютно (если сходится ряд  ), а может сходиться условно (если ряд из модулей расходится).

Следует отметить, что условие   в данном случае может быть и  . Действительно, появление нулей среди членов ряда может сделать ряд не знакочередующимся, так как нули не влияют на сумму и их можно исключить.[1] Но по первому условию ( ) все последующие члены ряда тогда тоже должны быть нулями! Что дает нам сходящийся ряд.

ПримерПравить

 . Ряд из модулей имеет вид   — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено
  2.  
  3.  .

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда ЛейбницаПравить

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

 

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда   будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

ПримечанияПравить

  1. convergence - Infinite zeros in infinite series. Mathematics Stack Exchange. Дата обращения 17 августа 2019.
  2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.