Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

.

Признак ЛейбницаПравить

ФормулировкаПравить

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

 ,

для которого выполняются следующие условия:

  1.  , начиная с некоторого номера ( ),
  2.  

Тогда такой ряд сходится.

ЗамечанияПравить

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Такие ряды могут сходиться абсолютно (если сходится ряд  ), а могут сходиться условно (если ряд из модулей расходится).

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как  необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд   сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов[1]:

 

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

ДоказательствоПравить

ПримерПравить

 . Ряд из модулей имеет вид   — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено
  2.  
  3.  .

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда ЛейбницаПравить

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

 

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда   будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

 

Знакопеременный рядПравить

Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными[3], однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
  • Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
  • Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

ПримечанияПравить

  1. Воробьёв, 1979, с. 84—85.
  2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 2 стр. 302