Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

ОпределениеПравить

Ряд Лорана в конечной точке   — функциональный ряд по целым степеням   над полем комплексных чисел:

  где переменная  , а коэффициенты   для  .

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

  1.   — часть по неотрицательным степеням  ,
  2.   — часть по отрицательным степеням  .

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если   — область сходимости ряда Лорана такая, что  , то для  

ряд   называется правильной частью,
ряд   называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке   — функциональный ряд по целым степеням   над полем комплексных чисел:

  где переменная  , а коэффициенты   для  .

По внешнему виду ряд для   совпадает с рядом для  , однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены   для  .

Если   — область сходимости ряда Лорана такая, что  , то для  

ряд   называется правильной частью,
ряд   называется главной частью.

СвойстваПравить

  • Часть по положительным степеням   сходится во внутренности   круга радиуса  ,
часть по отрицательным степеням   сходится во внешности   круга   радиуса  .
Поэтому, если  , то внутренность   области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо
 .
  • Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности   зависит только от   для произвольного  ,
а в точках граничной окружности   — только от   для произвольного  .
Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца   может быть разнообразным.
  • Во всех точках кольца   ряд Лорана сходится абсолютно.
  • На любом компактном подмножестве   ряд сходится равномерно.
  • Для каждой точки   существует такое значение  , что  , и ряд Лорана   может быть записан в виде сходящегося в   ряда по степеням  :
  где  , а   для  ,
т.е.   является для   правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в   есть аналитическая функция  .
  • Для   на граничных окружностях кольца сходимости   существуют непустые множества  ,   точек, не являющихся для   правильными.
  • Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном   почленно.
  • Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в   функцию только при  , поскольку для любого   значение  
Ряд  , представляющий в двусвязной области   функцию  , для любого компактного   и любой спрямляемой ориентированной кривой   можно интегрировать по   почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек   и не зависит от формы кривой  .
  • Коэффициенты   ряда Лорана   удовлетворяют соотношениям
 ,
где   — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном   и один раз обходящая против часовой стрелки точку  . В частности, в качестве   можно взять любую окружность   радиуса   с центром в  , расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр   должен возрастать).
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням  , сходящихся в   и   соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности   или на гомотопной ей по   спрямляемой кривой  , то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема ЛоранаПравить

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция  , являющаяся однозначной и аналитической в кольце  , представима в   сходящимся рядом Лорана по степеням  .

Представление однозначной аналитической функции   в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности   изолированной особой точки:

1) если точка  , то существует радиус   такой, что в проколотой окрестности

 

функция   представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка  , то существует радиус   такой, что в проколотой окрестности

 

функция   представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки   определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности  :

ЛитератураПравить