Равномерная сходимость

Пусть — произвольное множество, метрическое пространство, — последовательность функций. Говорят, что последовательность равномерно сходится[1] к функции , если для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство

Обычно обозначается .

Это условие равносильно тому, что

СвойстваПравить

  • Если  линейное нормированное пространство и последовательности отображений   и  ,   равномерно сходятся на множестве  , то последовательности   также как и   при любых   также равномерно сходятся на  .
  • Для вещественнозначных функций (или, более обще, если  линейное нормированное кольцо), последовательность отображений  , равномерно сходится на множестве   и   ограниченное отображение, то последовательность   также равномерно сходится на  .
  • Если  топологическое пространство,  метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке   отображений   равномерно сходится на множестве   к отображению  , то это отображение также непрерывно в точке  .
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций   равномерно сходится на отрезке   к функции  , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого   имеет место равенство
         
    и сходимость последовательности функций
         
    на отрезке   к функции
         
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке   функций  , сходится в некоторой точке  , a последовательность их производных равномерно сходится на  , то последовательность   также равномерно сходится на  , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

ПримечанияПравить

  1. Кудрявцев Л. Д. Равномерная сходимость // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 787—789. — 608 с. — 150 000 экз.

ЛитератураПравить

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
  • Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.