Равномерная сходимость
Пусть — произвольное множество, — метрическое пространство, — последовательность функций. Говорят, что последовательность равномерно сходится[1] к функции , если для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство
Обычно обозначается .
Это условие равносильно тому, что
Свойства
править- Если — линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , равномерно сходятся на множестве , то последовательности и при любых также равномерно сходятся на .
- Для вещественнозначных функций (или, более общо, если — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений , равномерно сходится на множестве и ограниченное отображение, то последовательность также равномерно сходится на .
- Если — топологическое пространство, — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно сходится на множестве к отображению , то это отображение также непрерывно в точке .
- Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций равномерно сходится на отрезке к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство
и сходимость последовательности функций
на отрезке к функции
равномерна.
- Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , сходится в некоторой точке , a последовательность их производных равномерно сходится на , то последовательность также равномерно сходится на , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.
Примечания
править- ↑ Кудрявцев Л. Д. Равномерная сходимость // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 787—789. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
Литература
править- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
- Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
- Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
- Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.
Для улучшения этой статьи желательно: |