Нулевая матрица

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера $m\times n,$ все элементы которой равны нулю. Она обозначается как $Z$ или $O$ или $O_{m,n}$

$Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

$a\,Z=Z.$

• Сумма матрицы $A$ и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице $A$:

$A+Z=A,\;\;\;Z+A=A.$

• Разница матрицы $A$ и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице $A$:

$A-Z=A.$

• Произведение матрицы $A$ размера $l\times m,$ на нулевую матрицу размера $m\times n,$ равно нулевой матрице размера $l\times n:$

$A\cdot Z=Z.$

• Квадратная нулевая матрица n×n при $n\geqslant 1$ является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:

  $\left|Z\right|=0.$

  Таким образом, такая матрица не имеет обратной.

• Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

$Z^{T}=Z.$

• Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:

$Z^{T}=-Z\,(=Z).$

Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

$ZA=AZ=Z$.

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что $NM=Z_{m\times n}$ существуют тогда и только тогда, когда $l\geqslant 2$. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда $n\geqslant 2$. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.