Нулевая матрица

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера все элементы которой равны нулю. Она обозначается как или или [1]

ПризнакиПравить

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(mn).

СвойстваПравить

 
  • Сумма матрицы   и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице  :
 
  • Разница матрицы   и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице  :
 
  • Произведение матрицы   размера   на нулевую матрицу размера   равно нулевой матрице размера  
 
  • Квадратная нулевая матрица n×n при   является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:
     
    Таким образом, такая матрица не имеет обратной.
 
 
Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.
  • Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:
 .

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что   существуют тогда и только тогда, когда  . Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда  . Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.