Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы

Основные определения

править

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица  , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю:   при  [1][2]

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица  , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю:   при  [1][2].

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица  , в которой все элементы на главной диагонали равны единице:  [3].

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной[4].

Применение

править

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате[5]:

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах[6]:

  • любую квадратную матрицу   с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы   и верхней треугольной матрицы  :   (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы   была унитреугольной;
  • любую невырожденную квадратную матрицу   можно представить в следующем виде:  , где   — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства

править
  • Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали[7] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
  • Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
  • Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
  • Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
  • Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
  • Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
  • Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
  • Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.