Антиэрмитова матрица

(перенаправлено с «Косоэрмитова матрица»)

В математике антиэрмитовой или косоэрмитовой матрицей называется квадратная матрица A, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

или поэлементно:

где через обозначено комплексное сопряжение числа .

СвойстваПравить

  • Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
  • Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда   для любых векторов   и   (форма   — антиэрмитова).
  • Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
  • Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
  • Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если   антиэрмитова, то   эрмитова.
  • Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
  • Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:
 ,
где
  — эрмитова,
  — антиэрмитова.
  • Матрица   антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента   унитарна.
  • Для любого комплексного числа   такого, что  , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами  , не имеющих собственных чисел равных  , и антиэрмитовыми матрицами  , задаваемое формулами Кэли:
 
 
где  единичная матрица.
В частности, при  :
 
 

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Brookes, M., "The Matrix Reference Manual", Imperial College, London, UK