Эрмитово сопряжённая матрица

(перенаправлено с «Эрмитово сопряжение»)

Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.

Например, если:

то:

.

Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Определения и обозначения править

Если исходная матрица   имеет размер  , то эрмитово сопряжённая к   матрица   будет иметь размер  , а её  -й элемент будет равен:

 ,

где   обозначает комплексно сопряжённое число к   (сопряжённое число к   есть  , где   и   — вещественные числа).

Другая запись определения:

 .

Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как   или   (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности,   (в квантовой механике) и   (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица   состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица  , если  .

Для квадратных матриц существует набор связанных определений —   называется:

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

Свойства править

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

  •   для любых двух матриц   и   одинаковых размеров;
  •   для любого комплексного скаляра  ;
  •   для любых матриц   и  , таких, что определено их произведение   (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
  •   для любой матрицы  .

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица   обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица  ; при этом:

 
 

для любой матрицы   размера   и любых векторов   и  . Обозначение   обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы   и   являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы   (необязательно квадратной). Если   квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

Ссылки править