Открыть главное меню

Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице обозначается .

Впервые концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Элиакимом Муром[1] в 1920 году и Роджером Пенроузом[2] в 1955 году; утверждение о существовании и единственности для любой матрицы над действительными и комплексными числами псевдообратной матрицы носит название теоремы Мура — Пенроуза.

Обобщённое обращение (англ. generalized inverse) — псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как решение задачи наилучшей аппроксимации (по методу наименьших квадратов с предельным вариантом регуляризации) для соответствующей системы линейных уравнений[⇨]. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью сингулярного разложения матрицы.

ОпределениеПравить

  называется псевдообратной матрицей для матрицы  , если она удовлетворяет следующим критериям:

  1.  ;
  2.   (  является слабым обращением в мультипликативной полугруппе);
  3.   (это означает, что   — эрмитова матрица);
  4.   (  — тоже эрмитова матрица).

Здесь   — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел  ).

Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных (регуляризация Тихонова):

 ,

где   — единичная матрица. Этот предел существует, даже если   и   не определены.

СвойстваПравить

  • Псевдообращение инволютивно (то есть эта операция обратна самой себе):
     .
  • Псевдообращение коммутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением:
     ,
     ,
     .
  • Псевдообратное произведение матрицы   на скаляр   равно соответствующему произведению матрицы   на обратное число  :
     , для  .
  • Если псевдообратная матрица для   уже известна, она может быть использована для вычисления  :
     .
  • Аналогично, если матрица   уже известна:
     .

Особые случаиПравить

Если столбцы матрицы   линейно независимы, тогда матрица   обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:

 .

Это эквивалентно тому, что в первой части определения через предел убирается слагаемое с  . Отсюда следует что в этом случае   — левая обратная матрица для   :   .

Если строки матрицы   линейно независимы, тогда матрица   обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой:

 .

Это эквивалентно тому, что во второй части определения через предел полагаем  . Отсюда следует, что в этом случае   — правая обратная матрица для A:  .

Если и столбцы, и строки линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), то псевдообращение совпадает с обращением:

 .

Если   и   таковы, что произведение   определено и:

  • либо  ,
  • либо  ,
  • либо столбцы   линейно независимы и строки   линейно независимы,

тогда

 .

Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Это подразумевает, что они рассматриваются как матрицы соответствующей размерности. Псевдообратный к скаляру   — ноль, если   — ноль, и обратный к   в противном случае:

 

Псевдообратный для нулевого вектора — транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для ненулевого вектора — сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины:

 

Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных.

ПроисхождениеПравить

Если   существует, то из равенства:

 

следует

 
 
 

что порождает понятие псевдообращения

  .

ВычислениеПравить

Пусть   — ранг матрицы   размера  . Тогда   может быть представлена как  , где B — матрица размера   с линейно независимыми столбцами и   — матрица размера   с линейно независимыми строками. Тогда:

 .

Если   имеет полнострочный ранг, то есть  , тогда в качестве   может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до  . Аналогично, если   имеет полностолбцовый ранг, то есть,  , то  .

Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использовать сингулярное разложение.

Если   — сингулярное разложение  , тогда  . Для диагональной матрицы, такой как  , псевдообратная получается из неё заменой каждого ненулевого элемента на диагонали на обратный к нему.

Существуют оптимизированые подходы вычисления псевдообратной для блочных матриц.

Иногда объём расчётов по нахождению псевдообратной матрицы можно сократить, если известна псевдообратная для некоторой аналогичной матрицы. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

ПрименениеПравить

Псевдообращение тесно связано с методом наименьших квадратов (МНК) для системы линейных уравнений[3].

В этом методе задача решения данной системы   заменяется задачей минимизации квадрата евклидовой нормы невязки  . На практике МНК обычно используют когда исходная система   несовместна, однако ниже мы рассмотрим случай когда эта система совместна.

Общее решение неоднородной системы   представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы  .

Лемма: Если   существует, тогда общее решение   всегда представимо как сумма псевдообратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

 

Доказательство:

           
         
      .

Здесь вектор   произвольный (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица  . Переписав её в форме  , приведём выражение к форме:

 

Первый член — псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов — это  , дающее минимальную евклидову норму для невязки. Следующий член даёт решение однородной системы  , потому что   — оператор проектирования на образ оператора   и, соответственно,   — оператор проектирования на ядро оператора  .

ЛитератураПравить

  1.   Э. Х. Мур (E. H. Moore): On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394—395 (1920) http://www.ams.org/bull/1920-26-09/S0002-9904-1920-03322-7/S0002-9904-1920-03322-7.pdf
  2.   Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406—413 (1955)
  3.   Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
  4.   Алберт А.: Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. перев. с англ. Москва, «Наука», 224 с.(1977)
  5.   Беклемишев Д. В.: Дополнительные главы линейной алгебры. Москва, Наука. (1983)