Открыть главное меню

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице — утверждение о существовании единственной псевдообратной матрицы для любой матрицы. Доказано независимо Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году.

Доказательство утверждения содержит конструктивную процедуру получения такой матрицы. Так, если для данной матрицы её ранг , то можно представить в виде произведения матриц и размера и соответственно, при этом и . Очевидно, что матрицы и  — невырожденные. Положив , имеет место и , то есть матрицы и являются эрмитовыми проекторами на и соответственно. Следовательно,  — псевдообратная матрица для матрицы . Единственность построенной таким образом матрицы показывается следующим образом: если и  — псевдообратные матрицы для матрицы , то и  — эрмитовы проекторы на , поэтому ; аналогично, , и следовательно [1].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить