Открыть главное меню

Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов и их тензорное произведение лежит в пространстве .

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространствПравить

Конечномерные пространстваПравить

Пусть   и   — конечномерные векторные пространства над полем  ,   — базис в  ,   — базис в  . Тензорным произведением   пространств   и   будем называть векторное пространство, порождённое элементами  , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение   произвольных векторов   можно определить, полагая операцию   билинейной:

 
 

При этом тензорное произведение произвольных векторов   и   выражается как линейная комбинация базисных векторов  . Элементы в  , представимые в виде  , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойстваПравить

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства   и билинейного отображения   существует единственное линейное отображение   такое, что

 

где   обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в   и  , так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства   оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения   эквивалентно заданию линейного отображения  : пространства   и   являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространствПравить

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть  ,  , и   — три векторных пространства. Тензорное произведение   вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

 

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение   из прямого произведения в векторное пространство  

 

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

 

где   — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если  ,   и   — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

 

В общем случае тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств  ,   определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения  .

Пусть   — произвольное натуральное число. Тогда  тензорной степенью пространства   называется тензорное произведение   копий  :

 

ФункториальностьПравить

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть  ,   — линейные операторы. Тензорное произведение операторов   определяется по правилу

 

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.[1]

Если матрицы операторов A и B при некотором выборе базисов имеют вид

 
 

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

 
 

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаиПравить

Тензорное произведение двух векторовПравить

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

 

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

 

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

 
 
 

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (разложимый тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

СвойстваПравить

  •  

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

  • Ассоциативность
 
  • Коммутативность
 
  • Линейность
 
  — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулейПравить

Пусть   — модули над некоторым коммутативным кольцом  . Тензорным произведением модулей называется модуль   над  , данный вместе с полилинейным отображением   и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля   над   и любого полилинейного отображения   существует единственный гомоморфизм модулей   такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается  . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль  , образующими которого будут n-ки элементов модулей   где  . Пусть   — подмодуль  , порождаемый следующими элементами:

  1.  
  2.  

Тензорное произведение определяется как фактормодуль  , класс   обозначается  , и называется тензорным произведением элементов  , a   определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение   полилинейно. Докажем, что для любого модуля   и любого полилинейного отображения   существует единственный гомоморфизм модулей  , такой, что  .

В самом деле, так как   свободен, то существует единственное отображение  , делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что   полилинейно, то на    , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что  , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы  , представимые в виде  , называются разложимыми.

Если   — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

 

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов  .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть   — базис модуля  . Построим свободный модуль   над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам  , определив отображение   и распространив его на   по линейности. Тогда   является тензорным произведением, где   является тензорным произведением элементов  . Если число модулей и все их базисы конечны, то

 .

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Hazewinkel, Michiel. Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Nadiya Gubareni … [и др.]. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.

См. такжеПравить