Открыть главное меню

Произведение Кронекера

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

ОпределениеПравить

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

 

В развёрнутом виде

 

Если A и B представляют собой линейные преобразования V1W1 и V2W2, соответственно, то AB представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1V2W1W2.

ПримерПравить

 .

Билинейность, ассоциативность и некоммутативностьПравить

 
 
 
 
где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
 

Если A и B квадратные матрицы, тогда A   B и B   A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.

ТранспонированиеПравить

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

 
 

Смешанное произведениеПравить

  • Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
 
  • A   B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
 

Сумма и экспонента КронекераПравить

  • Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и   — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера   как
 
  • Также справедливо
 

Спектр, след и определительПравить

  • Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A   B являются
 
 
 

Сингулярное разложение и рангПравить

 

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

 

Тогда произведение Кронекера A   B имеет rArB ненулевых сингулярных значений

 
  • Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,
 

ИсторияПравить

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.