Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

ОпределениеПравить

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразииПравить

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть  ,   и   — пространство тензоров типа   с естественным тензорным представлением группы  , тогда структура типа   является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа  .

Определение через понятие тензорного расслоенияПравить

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения   на дифференцируемом многообразии  , изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

 

Нестрогое определениеПравить

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия   ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область примененияПравить

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное полеПравить

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определениеПравить

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке   многообразия   некоторый тензор фиксированной валентности  , отнесенный к этой точке  . Пусть теперь   — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над  , и пусть   — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке   многообразия   некоторый тензор фиксированной валентности   на  , отнесенный к точке  .

ЛитератураПравить