Тензорное расслоение

Тензорное расслоение типа $(p,\;q)$ на дифференцируемом многообразии $M$ — векторное расслоение $T^{p,\;q}(M)$ над $M$ , ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ тензоров типа $(p,\;q)$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , в котором группа $GL(n,\;\mathbb {R} )$ действует при помощи тензорного представления. Например, $T^{1,\;0}(M)$ совпадает с касательным расслоением $T(M)$ над $M$ , a $T^{0,\;1}(M)$ — с кокасательным расслоением $T(M)^{*}$ .

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,T(M)^{*}.

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа $(p,\;q)$ , которые называются тензорными полями типа $(p,\;q)$ и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на $M$ — это гладкое сечение расслоения $T^{0,\;2}(M)$ , значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения $T^{p,\;q}(M)$ образуют модуль $D^{p,\;q}(M)$ над алгеброй $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ гладких функций на $M$ . Если $M$ — паракомпактное многообразие, то

D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},

где $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ — модуль гладких векторных полей, $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над $F^{\infty }(M)$ .

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на $M$ .

Литература править

Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М.: Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика). — ISBN 5-88688-076-3..