Векторное расслоение

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством $X$ (например, $X$ может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке $x$ пространства $X$ сопоставляется векторное пространство $V_{x}$ так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и $X$ (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над $X$. Само пространство $X$ называется базой расслоения.

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Примеры

• Простейший пример — тривиальное расслоение, которое имеет вид прямого произведения $X\times V$, где $X$ — топологическое пространство (база расслоения), а $V$ — векторное пространство.
• Более сложный пример — это касательное расслоение гладкого многообразия: каждой точке на многообразии сопоставляется касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательное расслоение в общем случае может быть нетривиальным.
• Ещё один пример нетривиального расслоения — лента Мёбиуса. Начинаем с тривиального расслоения размерности 1 над отрезком $[0,1]$ и склеим прямые на его концах по правилу $[0,t]\sim [1,-t]$. Это пример векторного расслоения, на котором нельзя задать ориентацию.

Определения

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой $V$ является векторным пространством, со структурной группой обратимых линейных преобразований $V$.

Связанные определения

• Подрасслоением U векторного расслоения V на топологическом пространстве X называется такая совокупность линейных подпространств $U_{x}\subset V_{x}$, $x\in X$, которая сама имеет структуру векторного расслоения.
• Линейным расслоением называется векторное расслоение ранга 1.

Морфизмы

Морфизм из векторного расслоения $\pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1}$ в векторное расслоение $\pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2}$ задается парой непрерывных отображений $f\colon E_{1}\to E_{2}$ и $g\colon X_{1}\to X_{2}$ таких, что

• $g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
• для любого $x\in X_{1}$, отображение $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ индуцированное $f,$ — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что $g$ определяется $f$ (так как $\pi _{1}$ — сюръекция); в таком случае говорят, что $f$ покрывает $g$.

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из $E_{1}$ в $E_{2}$ вместе с обратным гомоморфизмом называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения $E_{1}$ и $E_{2}$ называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга $k$) $E$ над $X$ на тривиальное расслоение (ранга $k$ над $X$) называется тривиализацией $E$, при этом $E$ называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Операции над расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если $E$ — векторное расслоение на $X$, то существует расслоение $E^{*}$ на $X$, называемое сопряжённым расслоением, слой которого в точке $x\in X$ — это сопряженное векторное пространство $(E_{x})^{*}$. Формально $E^{*}$ можно определить как множество пар $(x,\varphi )$, где $x\in X$ и $\varphi \in E_{x}^{*}$. Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений $E,F$ на $X$ (над заданным полем). Вот несколько примеров.

• Сумма Уитни, или расслоение прямой суммы $E$ и $F$, — это векторное расслоение $E\oplus F$ на $X$, слой которого в точке $x$ является прямой суммой $E_{x}\oplus F_{x}$ векторных пространств $E_{x}$ и $F_{x}$.

• Расслоение тензорного произведения $E\otimes F$ определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.

• Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle) $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ — это векторное расслоение, слой которого в точке $x$ — пространство линейных отображений из $E_{x}$ в $F_{x}$ (часто обозначаемое $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ или $L(E_{x},F_{x})$). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из $E$ в $F$ на $X$ и частями $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ на $X$.

См. также

• Абелева категория
• Группа Гротендика

Ссылки

• Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.