Расслоение

Расслоение — тройка , где  — топологическое пространство, называемое пространством расслоения (а также тотальным или расслоённым пространством),  — другое пространство, называемое базой расслоения,  — непрерывное сюръективное отображение (проекция расслоения) пространства в пространство . Часто расслоением называют само отображение .

Для каждого элемента определяется слой над этим элементом как подмножество всех прообразов элемента , то есть . Соответственно расслоение представляет собой объединение слоёв , параметризованных базой и склеенных топологией пространства .

Отображение такое, что тождественное отображение на называется сечением расслоения ,

Типы расслоенийПравить

Как правило изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение.

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению  , а проекция задаётся каноническим образом:  

Соответственно, расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением.

Локально-тривиальное расслоение называется гладким, если функции переходов являются гладкими.

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее)   так, что каждой точке   пространства   сопоставляется векторное пространство  , объединение которых образует пространство такого же типа, что и  . Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над  .

Касательное расслоение (гладкого) многообразия   — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств  , а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича, расслоение Зейферта, расслоение Серра, расслоение Хопфа.

ЛитератураПравить

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. — М.: Наука, 1981. — 344 с.