Открыть главное меню

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в назовём сложением. Группа Гротендика моноида (обозначается обычно или ) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойствоПравить

В наиболее простых терминах, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ превратить этот моноид в абелеву группу. Пусть   — коммутативный моноид, его группа Гротендика   должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

 

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

 

в абелеву группу   существует единственный гомоморфизм абелевых групп

 

такой, что

 

В терминах теории категорий, функтор, посылащий коммутативный моноид   в его группу Гротендика  , является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определениеПравить

Рассмотрим декартово произведение  , элементами которого являются пары  , где  . По определению, пары   соответствуют разностям  , сложение которых задается формулой

 

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида  ).

Для того, чтобы определить группу Гротендика  , нужно ввести на множестве   отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы   и  , для которых выполнено равенство

 

с некоторым элементом  . Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента   включает в себя элементы   при всех  . Этот класс называется формальной разностью элементов   и   и обозначается  .

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика   моноида  .

Нейтральный (нулевой) элемент группы   — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида   при всевозможных  . Элемент, противоположный к элементу  , имеет вид   (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение  , которое позволяет считать   расширением  . Именно, каждому элементу   ставится в соответствие формальная разность  , т.е. класс элементов   при всевозможных  .

ПримерыПравить

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением   действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел   с отношением эквивалентности

 

Теперь определим

 
 

для всех  . Эта конструкция определяет целые числа  .

СсылкиПравить