Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в назовём сложением. Группа Гротендика моноида (обозначается обычно или ) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство

править

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть   — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика   должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

 

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

 

в абелеву группу   существует единственный гомоморфизм абелевых групп

 

такой, что

 

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид   в его группу Гротендика  , является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение для моноида со свойством сокращения

править

Если моноид обладает свойством сокращения (из   следует  ), то группу Гротендика можно построить следующим образом. Рассмотрим декартово произведение  , элементами которого являются пары  , где  . При этом мы представляем, что пары   соответствуют разностям  ; исходя из этого сложение определяется формулой

 

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида  ).

Для того, чтобы определить группу Гротендика  , нужно ввести на множестве   отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы   и  , для которых выполнено равенство:   (подобно построению поля частных). Выполнение свойств рефлексивности и симметричности проверяется тривиально. Транзитивность следует из свойства сокращения. Класс эквивалентности пары   называется формальной разностью элементов   и   и обозначается  . Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика   моноида  .

Нейтральный (нулевой) элемент группы   — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида   при всевозможных  . Элемент, противоположный к элементу  , имеет вид   (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение  , которое позволяет считать   расширением  . Именно, каждому элементу   ставится в соответствие формальная разность  .

Приведенное построение наглядно, но без предположения свойства сокращения указанное отношение может не быть транзитивным. Как пример, рассмотрим кардинальные числа с операцией сложения (позволяя себе вольность рассматривать их все как множество); обозначив мощность множества натуральных чисел через  , получим, что  , но  

Явное определение в общем случае

править

Рассмотрим абелеву группу  , построенную на элементах моноида   (т.е. абелеву группу с базисом {   }. В ней рассмотрим подгруппу  , порожденную элементами вида  . Факторгруппа   и есть группа Гротендика (факторизация по B имеет тот же смысл, что и введение отношения эквивалентности для моноидов со свойством сокращения).

При таком построении имеется естественный гомоморфизм   в  , при котором   переходит в смежный класс  . Эти классы являются системой порождающий всей группы  , следовательно любой гомоморфизм   в абелеву группу продолжается на   не более чем одним способом; это продолжение можно задать явно:

 

(  означает смежный класс элемента  ). Корректность этого продолжения (т.е. независимость от выбора представителя смежного класса) следует из определения группы  .

Указанный гомоморфизм   является вложением, если и только если   обладает свойством сокращения.

Примеры

править

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением   действительно образуют коммутативный моноид со свойством сокращения. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел   с отношением эквивалентности

 

Теперь определим

 
 

для всех  . Эта конструкция определяет целые числа  .

Ссылки

править