Открыть главное меню

Локально тривиальное расслоение

(перенаправлено с «Структурная группа»)

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть  ,   и  топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение   называется локально тривиальным расслоением пространства   над базой   со слоем  , если для всякой точки базы   существует окрестность  , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм  , такой что коммутативна диаграмма

 .

Здесь   — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство   также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определенияПравить

  • Сечение расслоения — это отображение  , такое что  . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть   — многообразие, а   — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении  . Тогда сечение расслоения   — это векторное поле без нулей на  . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
  • Множество   называется слоем расслоения   над точкой  . Каждый слой гомеоморфен пространству  , поэтому пространство   называется общим (или модельным) слоем расслоения  ,
  • Гомеоморфизм  , отождествляющий ограничение расслоения   над окрестностью точки   с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения   над окрестностью точки  .
  • Если   — покрытие базы   открытыми множествами, и   — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство   называется тривиализующим атласом расслоения  .
  • Предположим локально тривиальное расслоение   снабжено покрытием   базы   с выделенной тривиализацией   и сужение любого отображения сличения   на слой принадлежит некоторой подгруппе   группы всех автоморфизмов  . Тогда   называется локально тривиальным расслоением со структурной группой  .

ПримерыПравить

  • Тривиальное расслоение, то есть проекция   на первый сомножитель.
  • Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
  • Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
  • Если   — топологическая группа, а   — её замкнутая подгруппа, причём факторизация   имеет локальные сечения, то   является расслоением со слоем   (Steenrod 1951, §7).
  • Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
  • Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение  . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой  , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
  • Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство  ), общий слой (пространство  ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха  ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства  . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида   с правилом отождествления:
 , если  

СвойстваПравить

  • Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы   — локально тривиальное расслоение, отображения   и  , так что  , и гомотопия   отображения   (то есть  ). Тогда существует гомотопия   отображения  , такая что  , то есть следующая диаграмма коммутативна
     
  • Пусть имеется локально тривиальное расслоение   со слоем   (иногда записываемое формально как  ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
 
  • Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
Если  , то  .
  • Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа   некоммутативна, одномерные когомологии   не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха  :
     ,
где   — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха  . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)
  • Для любого локально тривиального расслоения   и непрерывного отображения   индуцированное расслоение   является локально тривиальным.

Вариации и обобщенияПравить

  • Если пространства   — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение   — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
  • Расслоение называется голоморфным, если пространства   — комплексные многообразия, отображение   — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
  • Главное расслоение.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить