Открыть главное меню

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки   найдется её окрестность  , гомеоморфная открытому подмножеству пространства  , то   называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности  .

Пара  , где   — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой   в точке  . Таким образом, каждой точке соответствует набор   вещественных чисел  , которые называются координатами в карте  . Множество карт   называется  -атласом   многообразия  , если:

  • совокупность всех   покрывает  , т.е.  
  • для любых   таких, что  , отображение:
 
является гладким отображением класса  ;
  является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты   с картой  

Два  -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует  -атлас. Совокупность  -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые  -структурами, при   — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие  , наделенное  -структурой, называется  -гладким многообразием.

ЗамечанияПравить

  • Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую  -структурой.

Комплексные многообразияПравить

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства   более общих пространств   или даже  , где   — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае   рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные)  -структуры ( ) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структурыПравить

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней  -структура, и на  -многообразии, , —  -структура, если  . Наоборот, любое паракомпактное  -многообразие,  , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что  -многообразие нельзя наделить  -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число    -неизоморфных  -структур на  -мерной сфере равно:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

ОтображенияПравить

Пусть   — непрерывное отображение  -многообразий  ; оно называется  -морфизмом (или  -отображением,  , или отображением класса  ) гладких многообразий, если для любой пары карт   на X и   на Y такой, что   и отображение:

 

принадлежит классу  . Биективное отображение  , если оно и   являются  -отображениями, называется  -изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае   и   и их  -структуры называются  -изоморфными.

Подмножества и вложенияПравить

Подмножество    -мерного  -многообразия   называется  -подмногообразием размерности   в  , если для произвольной точки   существует карта    -структуры  , такая, что   и   индуцирует гомеоморфизм   с (замкнутым) подпространством  ; иными словами, существует карта с координатами  , такая, что   определяется соотношениями  .

Отображение   называется  -вложением, если   является  -подмногообразием в  , а   —  -диффеоморфизм.

Любое  -мерное  -многообразие допускает вложение в  , а также в   Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений   относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
  • Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
  • Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
  • Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
  • Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
  • Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
  • Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.