Двойной ряд

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда^[1].

Определение

Пусть $\{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty }$ — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

\{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j}

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд $\{a_{i,j}\}$ сходится и имеет сумму $s$ , если, каково бы ни было $\varepsilon >0$ , найдутся такие числа $m_{0}$ и $n_{0}$ , что при $m>m_{0}$ и $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ . Также условие сходимости двойного ряда к сумме $s$ можно записать в виде

$\lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s$ .

числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел $S$ последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j}

Свойства

Пусть в сходящемся двойном ряде $\{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty }$ с суммой $s$ сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах $s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij}$ и $s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}$ . Тогда $s=s'$ . Аналогично, если существуют пределы $s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij}$ и $s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j}$ . Тогда $s=s''$ ^[2].
Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде $\{a_{i,j}\}$ сходятся все строки $s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}$ и все столбцы $s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn}$ . Обозначим сумму строк $s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}$ .

Тогда:

- $k$ - е остатки строк $r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn}$ образуют сходящийся ряд $\sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)}$ с некоторой суммой $R_{k}$ .
- Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов $s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n}$ необходимо и достаточно существование предела $\lim _{k\to \infty }R_{k}=R$ .
- Для равенства $s'=s''$ необходимо и достаточно, чтобы было $R=0$ ^[3].