Ряд Фурье

(перенаправлено с «Ряды Фурье»)

Ряд Фурье́ — представление функции с периодом в виде ряда

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса[en]).

Этот ряд может быть также записан в виде

где

 — амплитуда -го гармонического колебания,
 — круговая частота гармонического колебания,
 — начальная фаза -го колебания,
 — комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.[1]

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

ИсторияПравить

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли[2]. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовать в Аналитической теория тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)[3] функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией[4]. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле[5] и Бернхард Риман[6][7][8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрику[9], теории перекрытия-оболочки[10] и т. д.

Тригонометрический ряд ФурьеПравить

Тригонометрическим рядом Фурье функции   (то есть функции, суммируемой на промежутке  , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

  (1)

где

 
 
 

Числа  ,   и   ( ) называются коэффициентами Фурье функции  . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию   в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты  ,   и  . Если умножить правую часть (1) на   и проинтегрировать по промежутку  , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент  . Аналогично для  .

Ряд (1) для функции   из пространства   сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через   частичные суммы ряда (1):

 ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции   будет стремиться к нулю:

 .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство   комплекснозначных функций со скалярным произведением

 .

Мы также рассматриваем систему функций

 .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция   может быть разложена по ним в ряд Фурье:

 ,

где ряд в правой части сходится к   по норме в  . Здесь

 .

Коэффициенты   связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

 
 
 
 
 

Для вещественнозначной функции коэффициенты   и   комплексно сопряжены.

ОбобщенияПравить

Ряды Фурье в гильбертовом пространствеПравить

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства   с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система   в гильбертовом пространстве   и   — произвольный элемент из  . Предположим, что мы хотим представить   в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов  :

 

Домножим это выражение на  . С учётом ортогональности системы функций   все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при  :

 

Числа

 

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента   по системе  , а ряд

 

называется рядом Фурье элемента   по ортогональной системе  .

Ряд Фурье любого элемента   по любой ортогональной системе сходится в пространстве  , но его сумма не обязательно равна  . Для ортонормированной системы   в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

  • система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
  • система является полной, то есть в   не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам   одновременно.
  • система является замкнутой, то есть для любого   выполнено равенство Парсеваля
 .
  • линейные комбинации элементов   плотны в пространстве  .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента   равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов  . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

 

Двойственность ПонтрягинаПравить

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда ФурьеПравить

 
Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда ФурьеПравить

Обозначим через   частичные суммы ряда Фурье функции  :

 .

Далее обсуждается сходимость последовательности функций   к функции   в различных смыслах. Функция   предполагается  -периодической (если она задана только на промежутке  , её можно периодически продолжить).

  • Если  , то последовательность   сходится к функции   в смысле  . Кроме того,   являются наилучшим (в смысле расстояния в  ) приближением функции   тригонометрическим многочленом степени не выше  .
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке   — локальное свойство, то есть, если функции   и   совпадают в некоторой окрестности  , то последовательности   и   либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
  • Если функция   дифференцируема в точке  , то её ряд Фурье в этой точке сходится к  . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции   задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке  , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к  . Это следует из того, что для непрерывной в   функции   последовательность   сходится по Чезаро к  .
  • Если функция   разрывна в точке  , но имеет пределы в этой точке справа и слева   то при некоторых дополнительных условиях   сходятся к  . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если  , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если  . Однако, существуют функции из  , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым[11]).
  • Зафиксируем точку  . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве  . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функцииПравить

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса  , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

  • Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега[en]).
  • Если функция   принадлежит классу  , то есть дифференцируема   раз и её  -я производная непрерывна, то  
  • Если ряд   сходится абсолютно, то   совпадает почти всюду с функцией класса   при всех  .
  • Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем  , то ряд   сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
  • Если  , то тригонометрический ряд Фурье сходится к аналитической функции.[источник не указан 4181 день]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 619.
  2. Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8.
  3. Stillwell, John (англ.). Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy (неопр.) / Ten, C. L.. — Routledge, 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4.
  4. Florian Cajori. A History of Mathematics (неопр.). — Macmillan, 1893. — С. 283.
  5. Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (англ.). Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Vol. 4. — P. 157—169. — arXiv:0806.1294.
  6. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.)  (неопр.) ?. Habilitationsschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Дата обращения: 19 мая 2008. Архивировано 20 мая 2008 года.
  7. Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series, in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier, 2005, <https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC> 
  8. Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.). — Springer, 1991. — P. 29.
  9. Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.). — Elsevier, 1995. — ISBN 0-12-515751-7.
  10. Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.). — Berlin: Springer-Verlag, 1957.
  11. В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

ЛитератураПравить

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
  • Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.

СсылкиПравить

Представление периодических сигналов. Ряд Фурье.

Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье.