Открыть главное меню

Сходимость в Lp

(перенаправлено с «Сходимость в L2»)

Сходи́мость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть   — пространство с мерой. Тогда пространство   измеримых функций, таких что их  -я степень, где  , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

 .

Пусть дана последовательность  . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в   к функции  , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

 .

Пишут:  . Иногда также используют обозначение   — от англ.  «limit in mean» .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин   сходится к   из того же пространства, если

 .

Пишут:  .

ТерминологияПравить

  • Сходимость в пространстве   называется сходимостью в среднем.
  • Сходимость в пространстве   называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в Править

  • Единственность предела. Если   и  , то    -почти всюду ( -почти наверное).
  • Пространство   полно. Если   при  , то существует  , такой что  .